¿En un aula de clase, con 30 alumnos, o con 100, cuántos alumnos cumplen años el mismo día?

Yo he tenido pocos accidentes de automóvil en mi vida. Pero un dia, hace pocos años, tuve dos golpes (que di yo) en el mismo dia, y con una diferencia de pocas horas. La intuición diceque eso es MUY POCO probable. Pero la intuición nos engaña en cosas que no hemos analizado a fondo.

Hagámonos la siguiente pregunta: ¿cuanta gente necesitas en un grupo de personas para que sea muy probable que dos personas canten Happy Birthday el mismo día? O sea, ¿cual es la probabilidad de que dos cumpleaños coincidan, en un grupo de 10, 20, … personas?

Por ejemplo, ¿con cuántos alumnos hay una probabilidad > 50% de qué dos cumplan el mismo día?

Cálculo de la probabilidad
Resulta que es más sencillo calcular la probabilidad de que NO coincidan 2 aniversarios. Y se haría así. Puesto que cada año tiene 365 dias,
– La probabilidad de que, si elijo 1 alumno, no coincida el cumpleaños, es el 100%: 365/365
– La probabilidad de que si elijo un segundo alumno no coincida el cumpleaños, es: (365/365) * (364/365)
– La probabilidad de que si elijo 2 alumnos SÍ que coincida el cumpleaños de los dos, es: 1- (365/365)*(364/365)
– La probabilidad de que si elijo un 3er alumno no coincida el cumpleaños de ninguno es: (365/365)*(364/365)*(363/365)

– La probabilidad de que si elijo n alumnos NO coincida ningún cumpleaños es:
P(n,NO) = 365*364*363*•••*(365-n+1) / 365^n
– Pr tanto, la probabilidad de que si elijo n alumnos SÍ que coincida algún cumpleaños, será el valor complementario: P(n,SÍ) = 1 – P(n,NO)

– Entonces, ¿con cuántos alumnos, hay una probabilidad > 50% de qué dos cumplan el mismo día?
Resulta muy sencillo programar estas expresiones en una hoja de cálculo, y graficar los resultados. Mira el resultado en la gráfica siguiente:

image002.gif

Con 10 alumnos, la probabilidad de que SÍ que coincidan 2 aniversarios es pequeña, un 10%.
Fíjate que pese a que una niña o un niño pueden nacer a lo largo de 365 días, con unos 27 alumnos ya es MÁS probable que 2 cantes juntos que no (línea rosa, > 50%).
Con unos 40 alumnos, la probabilidad de que haya 2 Happy birthdays es mayor del 90%.

Por tanto, puedes apostar y ganar un 90% de las veces, si afirmas que en cualquier grupo de 40 personas habrá 2 (o más) que celebran el cumpleaños el mismo dia.

Análogamente se puede calcular la probabilidad de que 3, o 4 o 5… alumnos canten el mismo día… y los resultados son sorprendentes.

(El mismo tipo de cálculo estadístico muestra que, en contra de la intuición, es más fácil tener dos accidentes de coche seguidos que distanciados en el tiempo, por ejemplo).


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